TEORI HIMPUNAN

     

Himpunan merupakan kumpulan dari elemen – elemen. Kita perkenalkan disini notasi baru yaitu  є, yang berarti elemen. Maka a є X, bisa dibaca “a merupakan elemen dari X”. Notasi ∉  menyatakan bukan elemen. Bila himpunan X = {1,2,4}, bisa dikatakan 3 ∉ X, dibaca “3 bukan elemen dari himpunan X”. Himpunan – himpunan dikatakan sama bila memuat elemen – elemen yang sama. Misalkan saja :

X = {1,2,4}

Y = {4,1,2}

Z = {1,2,3}

Maka

X = Z

X ≠ Z

Perhatikan , yang menjadi perhatian kita adalah elemen – elemennya,bukan bagaimana urutan elemen tersebut. Jika semua elemen dari himpunan A adalah elemen dari himpunan B, dapat dikatakan A adalah subset (himpunan bagian) dari B. Misalnya : ∉

P = {1,2,3}

   Q = {1,2,3,4}

R = {1,2,3}

Dapat dilihat,

P ⊆ R dan R ⊆ P

Maka didapatkan

P = R.

                Himpunan kosong/null, dinotasikan dengan ∅, merupakan himpunan bagian dari semua himpunan. Jadi dapat dinyatakan ∅ ⊆ P, ∅ ⊆ Q, ∅ ⊆ R. Terdapat tiga operasi himpunan, yang dapat dianalogikan dengan operasi – operasi aritmatika penjumlahan, perkalian, dan pengurangan sebagai berikut.

1.       Gabungan (union) : dinyatakan dengan ∪. Misalkan saja:

    A = {1,2,3}

B = {2,4}

 P = A ∪ B

Maka

P = {x|x∈ A atau ∈ B}

Yaitu

P = {1,2,3,4}

Operasi ∪ bisa dianalogikan dengan penjumlahan , kadang dinotasikan, seperti berikut ini:

A ∪ B, dengan AvB, atau A + B

2.       Irisan (intersection) : dinyatakan dengan ∩. Misalkan saja :

   A = {1,2,3}

B = {2,4}

 P = A ∩ B

Maka

P = { x | x ∈ A dan x ∈ B}

Yaitu

P = {2}

Operasi ∩ bisa dianalogikan dengan perkalian, kadang dinotasikan seperti berikut :

A ∩ B, dengan A ∧ B atau A.B

Himpunan yang irisannya ∅, disebut saling lepas (disjoint), misalkan :

A ∩ B = ∅

3.       Komplemen. Komplemen dari suatu himpunan adalah semua elemen yang tidak menjadi elemen himpunan tersebut. Semua himpunan yang dibahas diasumsikan merupakan bagian dari suatu himpunan semesta (universal) U. Misalkan, komplemen A, dinyatakan ¬A, adalah U – A, mirip operasi pengurangan. Sebagai contoh

  A = {1,2,3}

B = {2,4]}

  C = {10,11}

Maka  

     A – B = {1,3}

                                                                         B – C = ∅

Beberapa ketentuan pada operasi himpunan

a.       ∅ ∪ A = A

b.       ∅ ∩ A = ∅

c.       A  ⊆ B → A  ∩ B = A

d.       A  ⊆ B → A  ∪  B = A

e.       A ∩ A = A

f.        A ∪ A = A

g.       Komutatif

 A ∪ B = B ∪ A

 A ∩ B = B ∩ A

h.       Assosiatif:

 A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B)∪ C

 A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B)∩C

i.         Distributif:

 A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

 A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

j.        A – B = A ∩ ¬B

k.       ¬(A ∩ B) = ¬A ∪ ¬B

l.         ¬(A ∪ B) = ¬A ∩ ¬B

m.    ¬(¬A) = A

n.      ¬∅ = U

o.      ¬U = ∅

Ketentuan no (n) dan no (o) biasa disebut sebagai hukum De Morgan.